La seconda legge di Keplero

Come vedi, il pianeta si muove più rapidamente quando è vicino al Sole, e più lentamente quando è lontano. In termini pratici la seconda legge di Keplero dice proprio questo.

Ma che differenza di velocità c'è tra, per esempio, l'afelio e il perielio? La seconda legge permette di calcolarlo. Infatti l'enunciato preciso è questo; il raggio che unisce il Sole al pianeta copre aree uguali in tempi uguali.

Per capire cosa significa, osserva la figura. Puoi vedere l'orbita di un pianeta attorno al Sole. In questo caso è un'ellisse schiacciata, l'orbita dei pianeti è in realtà poco schiacciata.

È scelta in modo che quando il pianeta si trova all'afelio la sua distanza dal Sole è doppia di quella al perielio. Il pianeta si muove passando per i punti 1, 2, 3 e 4. Il raggio che unisce il pianeta al Sole viene chiamato raggio vettore. La sua lunghezza e orientazione variano dunque a seconda della posizione del pianeta. Andando dal punto 1 al 2 il raggio vettore `spazzola' l'area azzurra. Dal punto 3 al 4 l'area coperta è quella verde. I 4 punti sono stati scelti in modo che il tempo impiegato dal pianeta per andare da 1 a 2 è lo stesso che impiega per andare da 3 a 4. La seconda legge ci dice allora che l'area azzurra è uguale all'area verde.

Osserva che le due figure non sono troppo diverse da due triangoli. Puoi quindi calcolare la loro area come (A = base x altezza / 2). L'altezza del triangolo più sottile è uguale al doppio dell'altra. Visto che le aree dei due triangoli sono uguali, la base del triangolo più sottile dev'essere uguale alla metà dell'altra.

Le basi dei triangoli hanno lunghezza non troppo diversa da quella degli archi 1-2 e 3-4. Dunque il pianeta impiega lo stesso tempo a coprire la distanza 1-2 che è circa doppia di quella 3-4. Bisogna quindi che la velocità vicino al perielio sia doppia di quella vicino all'afelio.

Se disegni un'area uguale a quelle azzurra e verde in un'altra zona dell'orbita, la figura è sempre vicina ad un triangolo. L'altezza e la base del triangolo sono in tal caso intermedie a quelle dei due triangoli già visti. Dunque anche la velocità lungo l'orbita è intermedia tra quella minima dell'afelio e quella massima del perielio.

Ciò è vero per qualsiasi orbita ellittica. La seconda legge ci dice quindi che la velocità orbitale è massima quando il pianeta si trova nel punto più vicino al Sole, poi decresce via via che si allontana e diventa minima quando il pianeta si trova nel punto più lontano dal Sole.

Qui puoi guardare due filmati sulla seconda legge di Keplero.

Anche qui l'audio è in inglese, ma potrai capire ugualmente osservando il video e cercando di ricordare ciò che abbiamo detto finora.

Parte I - (HEASARC), AVI, 1.8 Mb

Parte II - (HEASARC), AVI, 1.8 Mb

Se fissiamo una certa orbita ellittica attorno al Sole siamo ora in grado di calcolare la velocità del pianeta? Non ancora. Sapendo com'è fatta l'ellisse la seconda legge di Keplero ci permette senz'altro di dire "la velocità del pianeta in questo punto è tante volte la velocità del pianeta in quest'altro punto". Ma quanto sia la velocità in un dato punto non lo possiamo sapere.

La legge ci permette di dire, ad esempio: "se per percorrere questo tratto di orbita il pianeta impiega 2 giorni, per percorrere quest'altro tratto di orbita impiegherà 8 giorni e mezzo". Ma per stabilire se impiega veramente 2 giorni o no dobbiamo proprio cronometrarlo.

Sarebbe bello però prevedere, data una certa orbita, quanto impiega un pianeta a percorrerla. Oltre a predire i movimenti dei pianeti noti, potremmo addirittura inventarci pianeti inesistenti in un'orbita qualsiasi nel Sistema Solare e vedere come si muoverebbero.

A tutti i nostri desideri risponde la terza legge di Keplero.